题目内容
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；
（3）若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
分析：（1）如图，由题设令AN=x米，然后用x表示出边长AM=
，由题意得出
×x＞32，从中求出x的范围，即为AN的取值范围．
（2）矩形的面积可以表示为SAMPN=
=
，化简后用基本不等式求出最小值．
（3）由（2）的求解知，当AN的长度不少于6米时，基本不等式取到最小值时等号成立的条件不足备，故不宜用基本不等式求矩形AMPN的面积最小值，可以用函数的单调性求面积的最小值．
| 3x |
| x-2 |
| 3x |
| x-2 |
（2）矩形的面积可以表示为SAMPN=
| 3x2 |
| x-2 |
| 3(x-2)2+12(x-2)+12 |
| x-2 |
（3）由（2）的求解知，当AN的长度不少于6米时，基本不等式取到最小值时等号成立的条件不足备，故不宜用基本不等式求矩形AMPN的面积最小值，可以用函数的单调性求面积的最小值．
解答：解：（1）设AN=x米，（x＞2），则ND=x-2
∵
=
∴
=
∴AM=
（2分）
∴
×x＞32
∴3x2-32x+64＞0（4分）
∴（3x-8）（x-8）＞0
∴2＜x＜
或x＞8（5分）
（2）SAMPN=
=
（7分）
=
=3(x-2)+
+12
≥2
+12=24
此时x=4（10分）
（3）∵SAMPN=3(x-2)+
+12（x≥6）
令x-2=t（t≥4），f(t)=3t+
+12（11分）
∵f′(t)=3-
当t≥4时，f'（t）＞0
∴f(t)=3t+
+12在[4，+∞）上递增（13分）
∴f（t）min=f（4）=27
此时x=6．（14分）
答：（1）2＜AN＜
或AN＞8
（2）当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24平方米；
（3）当AN的长度是6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27平方米．（15分）
∵
| ND |
| DC |
| AN |
| AM |
∴
| x-2 |
| 3 |
| x |
| AM |
∴AM=
| 3x |
| x-2 |
∴
| 3x |
| x-2 |
∴3x2-32x+64＞0（4分）
∴（3x-8）（x-8）＞0
∴2＜x＜
| 8 |
| 3 |
（2）SAMPN=
| 3x2 |
| x-2 |
| 3(x-2)2+12(x-2)+12 |
| x-2 |
=
| 3(x-2)2+12(x-2)+12 |
| x-2 |
| 12 |
| x-2 |
≥2
| 36 |
此时x=4（10分）
（3）∵SAMPN=3(x-2)+
| 12 |
| x-2 |
令x-2=t（t≥4），f(t)=3t+
| 12 |
| t |
∵f′(t)=3-
| 12 |
| t2 |
当t≥4时，f'（t）＞0
∴f(t)=3t+
| 12 |
| t |
∴f（t）min=f（4）=27
此时x=6．（14分）
答：（1）2＜AN＜
| 8 |
| 3 |
（2）当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24平方米；
（3）当AN的长度是6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27平方米．（15分）
点评：本题是个应用题，第一问要求根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；第二问考查了基本不等式求最值；第三问问题更深一层，重点考查基本不等式等号成立的条件不足备时，怎么来求相应解析式的最小值，本题考查全面，是少见的知识性与技能性都较强的题．
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