Question

已知函数y=x³+ax²﹣5x+b在x=﹣1处取得极值2．

（I）求实数a和b；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

专题：

导数的概念及应用．

分析：

（I）先求函数f（x）的导函数，再根据函数f（x）在x=﹣1处取得极值2得到，解方程即可；

（Ⅱ）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间即可．

解答：

解：（1）由于f'（x）=3x²+2ax﹣5

而函数y=x³+ax²﹣5x+b在x=﹣1处取得极值2，则f'（﹣1）=0，f（﹣1）=2

即解得

故实数a和b都为﹣1；

（2）由于f′（x）=3x²+2ax﹣5=（3x﹣5）（x+1）

若令f′（x）＞0，则；若令f^′（x）＜0，则．

故f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1），；f（x）的单调递减区间为：．

点评：

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件，属于基础题．