Question

【题目】已知函数

（1）当时，求的单调区间;

（2）若存在单调递减区间，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） .

【解析】分析：（Ⅰ）当时，函数．求导函数，利用导数大于0，可得的单调增区间，利用导数小于0，可得的单调减区间；
（Ⅱ）利用导数进行理解，即在上有解．可得在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到的取值范围．

详解：

(1)当，

其定义域为(0，＋∞)，

∴f′(x)＝＝＝

∵令，则；令，则，

∴是的单调递增区间，是的单调递减区间，

(2)∵，

∴f′()＝＝(>0)．

∵存在单调递减区间，

∴在上有解，

又∵>0，则在(0，＋∞)上有解，

①当＝0时，>1在(0，＋∞)上有解；

②当>0时，在(0，＋∞)上总有解；

③当<0时，要使在(0，＋∞)上有解，

只需有两个不相等正实数根，

∴，解得

综上，的取值范围是.