Question

在直角坐标系中，点O为坐标原点，已知，（i=1，2，3…，n，…），△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）是等边三角形，且点B₁，B₂…B_n…在同一条曲线C上，那么曲线C的方程是    ；设点B_n（i=1，2，…n…）的横坐标是n（n∈N*）的函数f（n），那么f（n）=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据，（i=1，2，3…，n，…），△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）是等边三角形，且点B₁，B₂…B_n…在同一条曲线C上，可得B_n横坐标、纵坐标的表达式，由此可得结论．
解答：解：设B_n（x，y），则
∵（i=1，2，3…，n，…），
∴=2i-1
∴=+（）+…+=+1+3+…+（2i-1）=-+i²
∵△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）是等边三角形，
∴x=[+n²-+（n-1）²]=，y=[+n²+-（n-1）²]=（2n-1）
消去n得y²=3x．
∴曲线C的方程是y²=3x，f（n）=
故答案为：y²=3x，f（n）=
点评：本题主要考查向量在几何中的应用、考查抛物线的标准方程，考查运算求解能力，属于中档题．