Question

设数列{a_n}是由正数组成的等比数列，公比为q，S_n是其前n项和．
（1）证明；
（2）设，记数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较q²S_n和T_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知当q=1时，S_n•S_n+2-S_n+1²=na₁•（n+2）a₁-（n+1）²a₁²=-a₁²＜0；当q≠1时，S_n•S_n+2-S_n+1²==-a₁²qⁿ＜0．由此可知S_n•S_n+2-S_n+1²＜0．所以．
（2）方法一：由题意知T_n=，T_n-q²S_n=≥2，所以T_n＞q²S．
方法二：由题意知T_n=，再由，利用均值不等式可知T_n＞q²S．
解答：证明：（1）由题设知a₁＞0，q＞0．（1分）
（i）当q=1时，S_n=na₁，
于是S_n•S_n+2-S_n+1²=na₁•（n+2）a₁-（n+1）²a₁²=-a₁²＜0，（3分）
（ii）当q≠1时，，
于是S_n•S_n+2-S_n+1²==-a₁²qⁿ＜0．（7分）
由（i）和（ii），得S_n•S_n+2-S_n+1²＜0．
所以S_n•S_n+2＜S_n+1²，．（8分）
（2）方法一：，（11分）
T_n=，
T_n-q²S_n=，（13分）
=≥2＞0，（15分）
所以T_n＞q²S．（16分）
方法二：T_n=，（11分）
由，（13分）
因为q＞0，所以
（当且仅当，即时取“=”号），
因为，
所以，即T_n＞q²S．（16分）
点评：本题考查数列的性质和综合应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．