题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，且曲线过点 $数学公式$
（1）求椭圆C的方程．（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆 $数学公式$ 内，求m的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴a²=2b²①
曲线过 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ②
由①②解得 $\text{[math]}$ ，则椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）联立方程 $\text{[math]}$ ，消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0
则△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，解得 $\text{[math]}$ ③
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
即AB的中点为 $\text{[math]}$
又∵AB的中点不在 $\text{[math]}$ 内，
∴ $\text{[math]}$
解得，m≤-1或m≥1④
由③④得： $\text{[math]}$ ＜m≤-1或1≤m＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据离心率为 $\text{[math]}$ ，a²=b²+c²得到关于a和b的一个方程，曲线过点 $\text{[math]}$ ，把点代入方程即可求得椭圆C的方程；
（2）直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点，联立直线和椭圆的方程，消元，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得AB的中点坐标，再根据该点不在圆内，得到该点到圆心的距离≥半径，求得m的取值范围．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，直线与圆锥曲线相交问题，易忽视△＞0，属中档题．