Question

用数学归纳法证明2²+4²+6²+…+(2n)²=n(n+1)(2n+1).

Answer 1

分析：用数学归纳法证明代数恒等式的关键是分清等式两边的构成情况,合理运用归纳假设.

证明 (1)当n=1时,左边=2²=4,右边=×1×2×3=4,

∴左边=右边,即n=1时,命题成立.      

(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即

2²+4²+6²+…+(2k)²=k(k+1)(2k+1),     

那么当n=k+1时,

2²+4²+…+(2k)²+(2k+2)²=k(k+1)(2k+1)+4(k+1)²   

=(k+1)［k(2k+1)+6(k+1)］

=(k+1)(2k²+7k+6)

=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)［(k+1)+1］［2(k+1)+1］,   

即n=k+1时,命题成立.             

由(1)、(2)可知,命题对所有n∈N*都成立.