Question

记关于x的不等式1-

a+1

x+1

＜0的解集为P，不等式|x+2|＜3的解集为Q
（1）若a=3，求P；
（2）若P∪Q=Q，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=3时，分式不等式可化为

x-3

x-1

＜0，结合分式不等式解法的结论，即可得到解集P；
（2）由含有绝对值不等式的解法，得Q=（-5，1）．根据a是正数，得集合P═（-1，a），并且集合P是Q的子集，由此建立不等式关系，即可得到正数a的取值范围．

解答：解：（1）a=3时，1-

a+1

x+1

＜0即1-

4

x+1

＜0，化简得

x-3

x-1

＜0
∴集合P={x|

x-3

x+1

＜0}，根据分式不等式的解法，解得-1＜x＜3
由此可得，集合P=（-1，3）．
（2）Q={x||x+2|＜3}={x|-3＜x+2＜3}={x|-5＜x＜1}
可得Q=（-5，1）
∵a＞0，∴P={x|

x-a

x+1

＜0}=（-1，a），
又∵P∪Q=Q，得P⊆Q，
∴（-1，a）⊆（-5，1），由此可得0＜a≤1
即正数a的取值范围是（0，1]．

点评：本题给出分式不等式和含有绝对值的不等式，求两个解集并讨论它们的包含关系，着重考查了分式不等式的解法、含有绝对值的不等式的解法和集合包含关系的运算等知识，属于基础题．