Question

记关于x的不等式

1+a

x+1

＞1（a＞0）的解集为P，函数f（x）=2^x+log₂（-x²+3x-2）的定义域为Q．
（1）若a=3时，求集合P；
（2）若Q∩P=Q，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将不等式整理得到

x-3

x+1

＜0，解出即可；
（2）先求出Q，再整理得到集合P，再依据集合的运算即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）由a=3得：

4

x+1

＞1，即

x-3

x+1

＜0，亦即（x+1）（x-3）＜0
解得-1＜x＜3，故P={x|-1＜x＜3}；
（2）由于函数f（x）=2^x+log₂（-x²+3x-2）的定义域为Q．
则Q即为-x²+3x-2＞0的解集{x|1＜x＜2}，
由

1+a

x+1

＞1，得到

x-a

x+1

＜0，亦即（x+1）（x-a）＜0
由于a＞0，则P={x|-1＜x＜a}
又由Q∩P=Q，则Q⊆P
故a≥2，即a的取值范围是[2，+∞）．

点评：本题考查分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．