Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

(1-an)(1+an)

．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）设cn=

1

bn-1

，求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅲ）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，不等式4aS_n＜b_n恒成立时，求实数的取值范围．

Answer 1

（本题14分）
（Ⅰ） SnSn+2-S2n+1=m(Sn+Sn+2-2Sn+1)，
∵[lg（S_n-m）+lg（S_n+2-m）]=2lg（S_n+1-m），
∴b2=

4

5

，b3=

5

6

，b4=

6

7

．…（4分）
（Ⅱ）∵bn+1-1=

1

2-bn

-1，
∴

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=-1+

1

bn-1

，…（5分）
∴数列{c_n}是以-4为首项，-1为公差的等差数列．
∴c_n=-4+（n-1）•（-1）=-n-3．…（7分）
（Ⅲ）由于cn=

1

bn-1

=-n-3，
所以bn=

n+2

n+3

，
从而an=1-bn=

1

n+3

..…（8分）
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=

1

4×5

+

1

5×6

+…

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

∴4aSn-bn=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

…（10分）
由条件知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件，
设f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，
当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立
当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，
当a＜1时，对称轴 n=-

3

2

•

a-2

a-1

=-

3

2

(1-

1

a-1

)＜0，
f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．
f（1）=（a-1）n²+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0，
∴a＜

15

4

，
∴a＜1时4aS_n＜b_n恒成立
综上知：a≤1时，4aS_n＜b_n恒成立…（14分）