题目内容

若x，y∈（0，+∞）且4x+9y-xy=0，则x+y的最小值为
25
25
．
分析：依题意，可求得
9
x
+
4
y
=1，利用基本不等式即可求得x+y的最小值．
解答：解：∵4x+9y-xy=0，
∴4x+9y=xy，又x，y∈（0，+∞），
∴
9
x
+
4
y
=1，
∴（x+y）（
9
x
+
4
y
）=9+4+
9y
x
+
4x
y
≥13+2
9y
x
•
4x
y
=25（当且仅当x=10，y=15时取“=”）．
故答案为：25．
点评：本题考查基本不等式，将4x+9y-xy=0转化为
9
x
+
4
y
=1是关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
请用不等号连接：若x＞y＞0，则xy
＞
＞
y2．
下列不等式中，
（1）若ax＞b，则x＞
b
a
；
（2）若a＞b，x＞y，则ax＞by；
（3）若x＞y＞0，则x2＞y2；
（4）若
x
a2
＞
y
a2
，则x＞y．
其中正确的命题是（　　）
若x，y＞0，且
1
x
+
3
y
=1，则x+3y的最小值为
16
16
．
若x、y满足
0≤x≤2
0≤y≤2
x+y≥1
，则 x2+y2的最小值是
1
2
1
2
．
（1）证明不等式：若x，y＞0，则(x+y)(
1
x
+
1
y
)≥4
（2）探索猜想下列不等式，并将结果填在括号内：若x，y，z＞0，则(x+y+z)(
1
x
+
1
y
+
1
z
)≥
9
9
；
（3）试由（1）（2）归纳出更一般的结论：
若x1，x2，…，xn＞0，则(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
若x1，x2，…，xn＞0，则(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
．

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