Question

(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.

(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；

   (Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.

①           求证:圆心在定直线上；

②           圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分

而,所以，故椭圆的标准方程为…………………5分

   (Ⅱ)①解法一:易得直线,

所以可得,再由∥,得……………8分

则线段的中垂线方程为, 线段的中垂线方程为,

由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分

经验证,该圆心在定直线上…………………………… 11分

解法二: 易得直线,所以可得,再由∥,得………………………8分

设的外接圆的方程为,

则,解得…10分

所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上   …11分

②由①可得圆C的方程为………13分

该方程可整理为,

则由,解得或,

所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分

 

【解析】略