Question

已知动圆M经过点A（-2，0），且与圆C：（x-2）²+y²=32内切，
（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；
（2）求轨迹E上任意一点M（x，y）到定点B（1，0）的距离d的最小值，并求d取得最小值时的点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）依题意，不难得到|MA|+|MC|=4

2

，转化为椭圆定义，求出动圆圆心M的轨迹E的方程．
（2）求轨迹E上任意一点M（x，y）到定点B（1，0）的距离d的表达式，转化为二次函数最值问题即可．

解答：解：（1）依题意，动圆与定圆相内切，得|MA|+|MC|=4

2

，可知M到两个定点A、C的距离的和为常数4

2

，并且常数大于|AC|，所以点M的轨迹为以A、C焦点的椭圆，可以求得a=2

2

，c=2，b=2，
所以曲线E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）解：d=|BM|=

(x-1)2+y2

=

(x-1)2+4(1- x2 8 )

=

1 2 (x-2)2+3

因为：-2

2

≤x≤2

2

，所以，当x=2时，d=

3

最小，
所以，dmin=

3

；M(2，±

2

)．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，函数的最值问题，椭圆的定义，是中档题．