Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则“a₁＞0”是“S₃＞S₂”的

充要

（条件）

Answer 1

分析：分公比q=1和q≠1两种情况，分别由a₁＞0推出S₃＞S₂成立，再由S₃＞S₂也分q=1和q≠1两种情况推出a₁＞0，从而得出结论．

解答：解：当公比q=1时，由a₁＞0可得 s₃=3a₁＞2a₁=s₂，即S₃＞S₂成立．
当q≠1时，由于

1-q3

1-q

=q²+q+1＞1+q=

1-q2

1-q

，
再由a₁＞0可得

a1(1-q3)

1-q

＞

a1(1-q2)

1-q

，即 S₃＞S₂成立．
故“a₁＞0”是“S₃＞S₂”的充分条件；
当公比q=1时，由S₃＞S₂成立，可得 a₁＞0．
当q≠1时，由 S₃＞S₂成立可得

a1(1-q3)

1-q

＞

a1(1-q2)

1-q

，
再由

1-q3

1-q

＞

1-q2

1-q

，可得 a₁＞0．
故“a₁＞0”是“S₃＞S₂”的必要条件．
综上可得，“a₁＞0”是“S₃＞S₂”的充要条件，
故答案为：充要

点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断，不等式性质的应用，属基础题．