Question

函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）；
（3）不等式f（x）＞ax-5当0＜x＜2时恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：本题没有给出函数的解析式，因此属于抽象函数问题．解决抽象函数问题的方法，关键在于“凑”，即“凑”出已知或是待求解的式子．（1）中我们要“凑”出f（0）；（2）中我们要“凑”出f（x）；（3）中我们要“凑”出我们力所能解的基本不等式．

解答：解：（1）令x=1，y=0，
得f（1+0）-f（0）=（1+2×0+1）•1=2，
∴f（0）=f（1）-2=-2．
（2）令y=0，f（x+0）-f（0）=（x+2×0+1）•x=x²+x，
∴f（x）=x²+x-2．
（3）f（x）＞ax-5化为x²+x-2＞ax-5，
ax＜x²+x+3，∵x∈（0，2），
∴a＜

x2+x+3

x

=1+x+

3

x

．
当x∈（0，2）时，1+x+

3

x

≥1+2

3

，当且仅当x=

3

x

，
即x=

3

时取等号，由

3

∈（0，2），
得（1+x+

3

x

）_min=1+2

3

，∴a＜1+2

3

．

点评：解决抽象函数问题的方法，关键在于“凑”，即“凑”出已知或是待求解的式子．（1）中我们要“凑”出f（0）；（2）中我们要“凑”出f（x）；（3）中我们要“凑”出我们力所能解的基本不等式．