Question

已知定点A(－2，0)，B(2，0)，曲线E上任一点P满足|PA|－|PB|＝2．

(1)求曲线E的方程；

(2)延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值；

(3)若直线l的方程为x＝a(a≤)，延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C满足PC⊥QC，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：|PA|－|PB|＝2　∴点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，其方程为……(4分) 　　(2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y＝k(x－2)代入双曲线方程，得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，由 　　解得k2＞3，……(6分) 　　∴|PQ|＝…(8分) 　　当直线斜率不存在时x1＝x2＝2，得y1＝3，y2＝－3，|PQ|＝6，|PQ|的最小值为6……(10分) 　　(3)当PC⊥CQ时，P、C、Q构成直角三角形 　　∴R到直线l的距离　　① 　　又∵点P、Q都在双曲线上， 　　∴， 　　∴即|PQ|＝4xR－2，∴　　② 　　将②代入①得，|PQ|＝2－4a≥6， 　　故有a≤－1……(14分)