Question

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值．

Answer 1

分析：（I）因为折叠过程中，A点落在线段DC上，特别的如果折叠后AD重合，这时候折痕所在直线的斜率为0，若AD不重合，这时候折痕所在直线的斜率不为0，然后根据A点和对折后的对应点关于直线折痕对称，我们可以求出直线方程．
（II）同（I）的分析，我们要对痕所在直线的斜率分类讨论，斜率为0时，易得结论，斜率不为0时，我们又要分折痕所在直线与矩形两边的交点在左右两边、上下两边、左下两边三种情况讨论，本小题分类情况比较多，故解答要细心！

解答：解：（I）（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=

1

2

．
（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，1）（0＜a≤2），
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有k_OG•k=-1，

1

a

k=-1?a=-k．
故G点坐标为G（-k，1）（-2≤k＜0）．
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M（-

k

2

，

1

2

）．
折痕所在的直线方程y-

1

2

=k（x+

k

2

），即y=kx+

k2

2

+

1

2

（-2≤k＜0）．
由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：
k=0时，y=

1

2

；k≠0时y=kx+

k2

2

+

1

2

（-2≤k＜0）．

（II）（1）当k=0时，折痕的长为2；
（2）当k≠0时，①如下图，折痕所在的直线与边AD、BC的交点坐标为N（0，

k2+1

2

），P（2，2k+

k2+1

2

）．

这时，-2+

3

＜k＜0，y=PN²=4+4k²=4（1+k²）∈（4，16（2-

3

））
②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为N（0，

k2+1

2

），P（-

k2+1

2k

，0）．

这时，-1≤k≤-2+

3

，y=(

k2+1

2

)2+(-

k2+1

2k

)2=

(k2+1)3

4k2

．
y′=

3(k2+1)2•2k•4k2-(k2+1)3•8k

16k4

=

(k2+1)2(2k2-1)

2k3

令y′=0解得k=-

2

2

，
∵y=|_k=-1=2，y=|k=-

2

2

=

27

16

，y|k=-2+

3

=16（2-

3

），
∴y∈[

27

16

，16（2-

3

）]
③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为N（

1-k2

2k

，1），P（-

k2+1

2k

，0）．

这时，-2≤k＜-1，y=PN²=(

1

k

)2+1∈[

5

4

，2）．
综上述，y_max=16（2-

3

）
所以折痕的长度的最大值

16(2- 3 )

=2（

6

-

2

）（≈2.07）．

点评：分类讨论思想是中学的四大数学思想之一，利用分类讨论思想一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养．但在针对本题的解答中，要注意分析所有的可能情况，并要注意不重分，不漏分．