Question

某选手在电视抢答赛中答对每道题的概率都是

1

3

，答错每道题的概率都是

2

3

，答对一道题积1分，答错一道题积-1分，答完n
道题后的总积分记为S_n．
（1）答完2道题后，求同时满足S₁=1且S₂≥0的概率；
（2）答完5道题后，求同时满足S₁=1且S₅=1的概率；
（3）答完5道题后，设ξ=|S₅|，求ξ的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意“S₁=1 且S₂≥0”表示“答完2 题，第一题答对，第二题答错；或第一题答对，第二题也答对”这两种情况是互斥的，得到概率．
（2）由题意“S₁=1 且S₅=1”表示“答完5 道题，第一题答对，后四题答对两道，答错两道”，根据独立重复试验的概率公式得到结果．
（3）因为答完5道题，结果可能是答对0 道，此时S₅=-5，ξ=5；可能是答对1 道，此时S₅=-3，ξ=3；可能是答对2 道，此时S₅=-1，ξ=1；可能是答对3 道，此时S₅=1，ξ=1；可能是答对4 道，此时S₅=3，ξ=3；可能是答对5 道，此时S₅=5，ξ=5，得到概率，写出分布列和期望值．

解答：解：（1）由题意“S₁=1 且S₂≥0”表示“答完2 题，第一题答对，第二题答错；
或第一题答对，第二题也答对”
此时概率P=

1

3

•

2

3

+

1

3

•

1

3

=

1

3

 
（2）由题意“S₁=1 且S₅=1”表示“答完5 道题，第一题答对，后四题答对两道，答错两道”
此时概率P=

1

3

•

C

2 4

(

1

3

)2•(

2

3

)2=

8

81

 
（3）因为答完5道题，结果可能是答对0 道，此时S₅=-5，ξ=5；可能是答对1 道，此时S₅=-3，ξ=3；可能是答对2 道，此时S₅=-1，ξ=1；可能是答对3 道，此时S₅=1，ξ=1；可能是答对4 道，此时S₅=3，ξ=3；可能是答对5 道，此时S₅=5，ξ=5，∴ξ 的取值只能是1，3，5，
P(ξ=3)=

C

1 5

1

3

(

2

3

)4+

C

4 5

(

1

3

)4

2

3

=

10

27

，
P(ξ=1)=

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3+

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2=

40

81

 
，P(ξ=5)=

C

0 5

(

2

3

)5+

C

5 5

(

1

3

)5=

11

81

 
∴ξ 的分布列为

ξ		3
P		10 27

∴Eξ=

185

81

点评：本题考查离散型随机变量飞分布列和期望值，本题解题的关键是看出变量对应的事件，结合事件写出变量对应的概率