Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（Ⅰ）证明：BN⊥平面C₁NB₁；
（Ⅱ）求平面CNB₁与平面C₁NB₁所成角的余弦值；

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB₁两两垂直．
以BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．--------------（2分）

则B（0，0，0），N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）．
∴，．------------（4分）
∴NB⊥NB₁，BN⊥B₁C₁．
又NB₁与B₁C₁相交于B₁，∴BN⊥平面C₁NB₁．-------------------（6分）
（Ⅱ）解：∵BN⊥平面C₁NB₁，∴是平面C₁B₁N的一个法向量，------------（8分）
设为平面NCB₁的一个法向量，则，∴
所以可取．------------（10分）
则cos==
∴所求二面角C-NB₁-C₁的余弦值为．------------（12分）
分析：（Ⅰ）根据题意，可得BA，BC，BB₁两两垂直，以BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点、向量，利用数量积证明NB⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，即可证明BN⊥平面C₁NB₁．
（Ⅱ）是平面C₁B₁N的一个法向量，求出平面NCB₁的一个法向量，利用向量的数量积，可求
二面角C-NB₁-C₁的余弦值．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是构建空间直角坐标系，确定平面的法向量．