Question

【题目】已知函数f(x)=x2+4xsinα+tanα(0<a<)有且仅有一个零点

(Ⅰ)求sin2a的值;

(Ⅱ)若cos2β+2sin2β=+sinβ, β∈,求β-2α的值

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】试题分析：（1）函数f(x)=x2+4xsinc+tanα(0<a<)有且仅有一个零点等价于关于x的方程x2+4xsinα+tanα=0(0<a<)有两个相等的实数根,即判别式等于0，解出即可；(2)原式子等价于1-2sin2β+2sin2β=+sinβ,解得sinβ=，故得到cosβ=-，根据两角和差公式得到cos(β-2α)=-，进而得到角的值.

解析：

(I)函数f(x)=x2+4xsinc+tanα(0<a<)有且仅有一个零点等价于关于x的方程x2+4xsinα+tanα=0(0<a<)有两个相等的实数根,

所以△=16sin2α-tanα=0,即16sin2α-·=0,

整理,得2sinαcosα=,即sin2α=,

(Ⅱ)因为cos2β+2sin2β=+sinβ,

所以1-2sin2β+2sin2β=+sinβ,解得sinβ=,

又β∈(),所以cosβ=-=-,

由(I)得sin2α=.且0<2α<,所以cos2a=,

所以cos(β-2α)= cosβcos2α+ sinβsin2α=(-) ×+×=-

由<β<,0<2α<,知0<β-2α<,故β-2α=.