Question

已知函数f(x)=

4x-m

x2+1

的定义域为R，且值域为（-∞，1]，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由函数f(x)=

4x-m

x2+1

的定义域为R，且值域为（-∞，1]，可得m≥4x-x²-1，设y=-x²+4x-1，只需使m≥y的最大值即可求解．

解答：解：由函数f(x)=

4x-m

x2+1

的定义域为R，且值域为（-∞，1]，
∴

4x-m

x2+1

≤1，
∴4x-m≤x²+1，∴m≥4x-x²-1，
设y=-x²+4x-1=-（x-2）²+3，当x=2时，y取得最大值为3，
故要使m≥y恒成立，只需m≥3，
故m的取值范围为[3，+∞）．

点评：本题考查了函数的值域，难度一般，关键是用配方法求函数的最值．