Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则

PM

•

PN

的值为（　　）

• A、a²
• B、b²
• C、2ab
• D、a²+b²

Answer 1

分析：本题考查的主要知识点是双曲线的性质中渐近线的性质，由双曲线的标准方程，我们不难线出双曲线的渐近线方程，又因为实轴平行的直线上各点的纵坐标相等，故设出P点坐标后，易给出M，N的坐标，进而给出对应向量的坐标，代入向量数量积坐标运算公式，即可求出答案．

解答：解：设p（x，y），则
M(

a

b

y，y)，N(-

a

b

y，y)，
于是

PM

•

PN

=(

a

b

y-x，0)•(-

a

b

y-x，0)=(

a

b

y-x)(-

a

b

y-x)=-x2-

a2

b2

y2=

1

b2

(b2x2-a2y2)=

a2b2

b2

=a2．
故选A

点评：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y=±

b

a

x，双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y=±

a

b

x．