Question

已知数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=

4an-2

an+1

（n∈N^*）．
（1）求实数a为何值时，数列{a_n}是常数数列；
（2）记bn=

an-2

an-1

（n∈N^*），当l＜a＜2时，求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）在（2）的条件下，若不等式a_n＞a_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若数列{a_n}是常数数列；则a_n+1=a_n，即

4an-2

an+1

=a_n对任意正整数n都成立，解得a_n=1，或a_n=2．故当a=1，或a=2时，数列{a_n}是常数数列；
（2）由已知，bn+1=

an+1-2

an+1-1

=

4an-2 an+1 -2

4an-2 an+1 -1

=

2

3

×

an-2

an-1

=

2

3

b_n，数列{b_n}是等比数列
（3）在（2）的条件下，由bn=

an-2

an-1

得a_n=

bn-2

bn-1

．若不等式a_n＞a_n+1对一切n∈N^*恒成立，a_n+1-a_n=

bn+1-2

bn+1-1

-

bn-2

bn-1

=

1

bn-1

-

1

bn+1-1

=

bn+1-bn

(1-bn+1)(1-bn)

=

- 1 3 bn

(1- 2 3 bn)(1-bn)

＜0，通过b_n的范围，转化到b₁，a的范围．

解答：解：（1）若数列{a_n}是常数数列，则a_n+1=a_n，即

4an-2

an+1

=a_n对任意正整数n都成立，
解得a_n=1，或a_n=2．故当a=1，或a=2时，数列{a_n}是常数数列；
（2）bn+1=

an+1-2

an+1-1

=

4an-2 an+1 -2

4an-2 an+1 -1

=

2

3

×

an-2

an-1

=

2

3

b_n
因为a₁=a，且1＜a＜2，所以a₁∈（1，2），所以b₁≠0，所以数列{b_n}是公比为

2

3

的等比数列；
（3）由bn=

an-2

an-1

得a_n=

bn-2

bn-1

．所以a_n+1-a_n=

bn+1-2

bn+1-1

-

bn-2

bn-1

=

1

bn-1

-

1

bn+1-1

=

bn+1-bn

(1-bn+1)(1-bn)

=

- 1 3 bn

(1- 2 3 bn)(1-bn)

＜0
解得bn＞

3

2

，或0＜b_n＜1．若bn＞

3

2

，则b1(

2

3

)n-1＞

3

2

对一切n∈N^*恒成立，显然不可能．0＜b_n＜1.0＜b1(

2

3

)n-1＜1．对一切n∈N^*恒成立，
只要0＜b₁＜1即可．即0＜

a1-2

a1-1

＜1，解得a₁＞2，实数a的取值范围（2，+∞）

点评：本题考查数列性质的判断，数列与不等式的结合．考查推理论证，运算求解能力．