Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F和椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）设P（1，2），是否存在平行于OP（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OP与l的距离等于

5

5

？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的右焦点F（1，0），知

p

2

=1，p=2，由此能求出抛物线C的方程和其准线方程．．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为2x+b，由

y2=4x y=2x+b

，得y²-2y+2b=0，由直线l与抛物线有公共点，知△=4-8b≥0，由直线OP与l的距离d=

5

5

，知b=±1．由此能导出符合题意的直线l存在，其方程为y=2x-1．

解答：解：（1）∵椭圆的右焦点F（1，0），
∴

p

2

=1，p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x，
其准线方程为x=-1．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为2x+b，
由

y2=4x y=2x+b

，得y²-2y+2b=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4-8b≥0，即b≤

1

2

，
∵直线OP与l的距离d=

5

5

，
∴

|b|

5

=

1

5

，即b=±1．
从而b=-1．
∴符合题意的直线l存在，其方程为y=2x-1．

点评：本题考查直线和抛物线的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．