Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

2n

n-1

a_n-1+n（n≥2，n∈N^*）．且b_n=

an

n

+λ为等比数列，
（Ⅰ）求实数λ及数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n为{a_n}的前n项和，求S_n；
（Ⅲ）令c_n=

bn

(bn-1)2

，数列{c_n}前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有T_n＜3．

Answer 1

（Ⅰ）当n≥2，n∈N^*时，an=

2n

n-1

an-1+n，
∴

an

n

=2

an-1

n-1

+1，即

an

n

+1=2(

an-1

n-1

+1)，故λ=1时
有b_n=2b_n-1，而b1=

a1

1

+1=2≠0
b_n=2•2^n-1=2ⁿ，从而a_n=n•2ⁿ-n
（Ⅱ）S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ-（1+2+…+n）
记R_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
则2R_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ+1
相减得：-R_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-

n2+n-4

2

（Ⅲ）cn=

2n

(2n-1)2

＜

2n

(2n-1)(2n-2)2

=

2n-1

(2n-1)(2n-1-1)2

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

(n≥2)
n≥2时，Tn＜

21

21-1

+

1

2-1

-

1

22-1

+…+

1

2n-1-1

-

1

2n-1

(n≥2)

=2+1-

1

2n-1

＜3
而T₁=

2

2-1

=2＜3
∵?n∈N^*，7_n＜3．