Question

7．在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=cos（n+1）π，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₅=-1006．

Answer 1

分析 由已知结合数列递推式求出数列前5项，得到数列是以5为周期的周期数列，由此求得答案．

解答 解：由a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=cos（n+1）π，
得a₂=a₁+cos2π=1+1=2，
a₃=-a₂+cos3π=-2-1=-3，
a₄=a₃+cos4π=-3+1=-2，
a₅=-a₄+cos5π=2-1=1，
…
由上可知，
数列{a_n}是以4为周期的周期数列，
且a₁+a₂+a₃+a₄=-2，
∴S₂₀₁₅=503（a₁+a₂+a₃+a₄）+0=503×（-2）+0=-1006．
故答案为：-1006．

点评 本题考查了数列递推式，关键是对数列周期性的发现，是中档题．