Question

比较（n+1）²与3ⁿ的大小（n∈N^*）.

Answer 1

解：当n=1时，左=（1+1）²=4，右=3，左>右；

当n=2时，左=9=右；

当n=3时，左=16<27=右；

当n=4时，左=25<81=右.

由此猜想，当n≥3时，（n+1）²<3ⁿ.

证明：（1）当n=3时，不等式成立.

（2）假设n=k（k≥3，k∈N^*）时，（k+1）²<3^k.

则当n=k+1时，

3^k+1=3·3^k>3（k+1）².

下面只需证3（k+1）²>（k+2）².

即证3k²+6k+3>k²+4k+4，

亦证2k²+2k>1.

当k≥3时，上式显然成立.

所以，当n=k+1时，命题成立.

所以，由（1）（2）可知对n≥3，n∈N^*，命题成立.

综上知，当n≤2时，（n+1）²≥3ⁿ；

当n≥3时，（n+1）²<3ⁿ.