Question

数列{a_n}中，a₁=1，an+1=

1

2

a

2 n

-an+c（c＞1为常数，n=1，2，3，…），且a3-a2=

1

8

.
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）①证明：a_n＜a_n+1；
②猜测数列{a_n}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）比较

n

k=1

1

ak

与

40

39

an+1的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）把n=2和n=3分别代入an+1=

1

2

a

2 n

-an+c，可得到a₂和a₃的表达式代入a3-a2=

1

8

.即可求得c．
（2）①要证a_n＜a_n+1需证a_n+1-a_n＞0，把an+1=

1

2

a

n 2

-an+c代入整理得an+1-an= -

1

2

(an-2)2≥0
当且仅当a_n=2时，a_n+1=a_n．根据a₁=1进而可证明．
②数列{a_n}有极限且极限值等于2．
（3）对an+1=

1

2

a

2 n

-an+2进行整理可得到关系式

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

，然后代入到

n

k=1

1

ak

中找到

n

k=1

1

ak

的关系式，最后

n

k=1

1

ak

与

40

39

an+1作差比较大小．

解答：（Ⅰ）解：依题意，a2=

1

2

a

2 1

-a1+c=c-

1

2

，a3=

1

2

a

2 2

-a2+c=

1

2

(c-

1

2

)2+

1

2

.
由a3-a2=

1

8

，得

1

2

(c-

1

2

)2+

1

2

-(c-

1

2

)=

1

8

，
解得c=2，或c=1（舍去）．
（Ⅱ）①证明：因为an+1-an=

1

2

a

2 n

-2an+2=

1

2

(an-2)2≥0，
当且仅当a_n=2时，a_n+1=a_n．
因为a₁=1，所以a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1（n=1，2，3，）．
②数列{a_n}有极限，且

lim

n→∞

an=2．
（Ⅲ）解：由an+1=

1

2

a

2 n

-an+2，可得a_n（a_n+1-a_n）=（a_n-2）（a_n+1-2），
从而

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

．
因为a₁=1，所以

n

k=1

1

ak

=

n

k=1

(

1

ak-2

-

1

ak+1-2

)=

1

a1-2

-

1

an+1-2

=

1

2-an+1

-1.
所以

n

k=1

1

ak

-

40

39

an+1=

1

2-an+1

-1-

40

39

an+1=

40 a 2 n+1 -41an+1-39

39•(2-an+1)

=

(5an+1+3)(8an+1-13)

39•(2-an+1)

.
因为a₁=1，由（Ⅱ）①得a_n≥1（n∈N^*）．（1）
下面证明：对于任意n∈N^*，有a_n＜2成立．
当n=1时，由a₁=1，显然结论成立．
假设结论对n=k（k≥1）时成立，即a_k＜2．
因为an+1=

1

2

a

2 n

-an+2=

1

2

(an-1)2+

3

2

，且函数y=

1

2

(x-1)2+

3

2

在x≥1时单调递增，
所以ak+1＜

1

2

(2-1)2+

3

2

=2．
即当n=k+1时，结论也成立．于是，当n∈N^*时，有a_n＜2成立．（2）
根据（1）、（2）得1≤a_n＜2．
由a₁=1及an+1=

1

2

a

2 n

-an+2，经计算可得a2=

3

2

，a3=

13

8

.
所以，当n=1时，

1

a1

＜

40

39

a2；当n=2时，

1

a1

+

1

a2

=

40

39

a3；
当n≥3时，由

13

8

＜an+1＜2，得

n

k=1

1

ak

-

40

39

an+1=

(5an+1+3)(8an+1-13)

39•(2-an+1)

＞0?

n

k=1

1

ak

＞

40

39

an+1．

点评：本题主要考查数列的递推关系式和数列的求和问题．数列是高考必考题，要强化复习．