题目内容
17．（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2-4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆的概率．
分析 （1）利用列举法确定基本事件，即可求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆，故$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞{b}^{2}}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}＜\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，化简得$\left\{\begin{array}{l}{a＞b}\\{a＜2b}\end{array}\right.$，又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，利用面积比，即可求方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆的概率．
解答 解：（1）∵函数f（x）=ax2-4bx+1的图象的对称轴为直线x=$\frac{2b}{a}$，要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且$\frac{2b}{a}$≤1，即2b≤a．…（2分）
若a=1，则b=-1；
若a=2，则b=-1或1；
若a=3，则b=-1或1．
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5．…（4分）
而满足条件的数对（a，b）共有3×5=15个
∴所求事件的概率为$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$．…（6分）
（2）方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆，故$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞{b}^{2}}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}＜\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$…（8分）
化简得$\left\{\begin{array}{l}{a＞b}\\{a＜2b}\end{array}\right.$
又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，
…（10分）
阴影部分的面积为$\frac{15}{4}$，故所求的概率P=$\frac{15}{32}$．…（12分）
点评 本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，区分两种类型是关键．
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $-\frac{1}{2}$ |
| A． | 坐标原点对称 | B． | x轴对称 | C． | y轴对称 | D． | 直线y=x对称 |