Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m。
（1）若函数y=f（x）在区间[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使成立，求实数m 的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵函数的对称轴是x=2，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是减函数，
又∵函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点，则必有
即，解得
故所求实数a的取值范围为。
（2）当a=0时，若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域为函数的值域的子集。
 而，的值域为，
下面求的值域。
①当m=0时，g（x）=5为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，函数g（x）在上为增函数，所以g（x）的值域为[5-m，5+2m]，
要使[-1，3][5-m，5+2m]，需，解得m≥6；
③当m＜0时，函数g（x）在[1，4]上为减函数，所以g（x）的值域为[5-m，5+2m]，
要使[-1，3][5-m，5+2m]，需，解得m≤-3；
综上所述，实数的取值范围为m≤-3或m≥6。