题目内容
【题目】已知函数f（x）=4sin2（ 
+ 
）sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．
（1）化简f（x）；
（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间 
上是增函数，求ω的取值范围；
（3）若函数g（x）= 
在 
的最大值为2，求实数a的值．
【答案】
（1）解：f（x）=2[1﹣cos（ 
+x）]sinx+cos2x﹣sin2x﹣1=（2+2sinx）sinx+1﹣2sin2x﹣1=2sinx．
（2）解：∵f（ωx）=2sinωx，由 
≤ωx≤ 
，解得﹣ 
+ 
≤x≤ + ，
∴f（ωx）的递增区间为[﹣ + ， + ]，k∈Z．∵f（ωx）在[﹣ ， 
]上是增函数，
∴当k=0时，有 
，∴ 
，解得 
，
∴ω的取值范围是（0， 
]．
（3）解：g（x）=sin2x+asinx﹣acosx﹣ 
a﹣1，令sinx﹣cosx=t，则sin2x=1﹣t2，
∴y=1﹣t2+at﹣ a﹣1=﹣（t﹣ 
）2+ 
﹣ 
，∵t=sinx﹣cosx= 
sin（x﹣ 
），
∵x∈[﹣ ， 
]，∴x﹣ ∈[﹣ ， ]，∴ 
．
①当 ＜﹣ ，即a＜﹣2 时，ymax=﹣（ 
﹣ ）2+ ﹣ =﹣ a﹣ ﹣2．
令﹣ a﹣ ﹣2=2，解得a=﹣ 
（舍）．
②当﹣ ≤ ≤1，即﹣2 ≤a≤2时，ymax= ﹣ ，令 
，解得a=﹣2或a=4（舍）．
③当 
，即a＞2时，在t=1处 
，由 
得a=6．
因此，a=﹣2或a=6．
【解析】（1）使用降次公式和诱导公式化简4sin2（ 
+ 
），使用平方差公式和二倍角公式化简（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）；（2）求出f（ωx）的包含0的增区间U，令[﹣ 
， 
]U，列出不等式组解出ω；（3）求出g（x）解析式，判断g（x）的最大值，列方程解出a．
