Question

设集合A={x|-1≤x≤a}，P={y|y=x+1，x∈A}，Q={y|y=x²，x∈A}，
（1）若Q∩P=Q，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得P=Q？并说明理由．

Answer 1

根据集合中元素的数学意义，应将集合P、Q分别理解为一次函数与二次函数值域的集合，而它们的定义域均为集合A．
（1）∵P={y|0≤y≤a+1}，而Q中函数值必须分类讨论．
①当-1≤a＜0时，Q={y|a²≤y≤1}，∵Q⊆P，∴

a2≥0 1≤a+1

，不合；
②当0≤a≤1时，Q={y|0≤y≤1}，∵P∩Q=Q，∴Q⊆P，∴1≤a+1，得0≤a≤1；
③当a＞1时，Q={y|0≤y≤a²}，∵Q⊆P，∴a2≤a+1，得1＜a≤

1+ 5

2

；
故，实数a的取值范围是：[0，

1+ 5

2

]．
（2）在（1）②中令a+1=1得a=0，此时P=Q={y|0≤y≤1}；
在（1）③中令a+1=a2得a=

1+ 5

2

，此时P=Q={y|0≤y≤

1+ 5

2

}；
故，存在实数a=0或a=

1+ 5

2

使得P=Q．