Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，D是AB中点，AC⊥BC．
（1）求证：BC₁∥面A₁DC．
（2）求证：面A₁BC⊥面A₁AC．

Answer 1

解：（1）证明：取AC₁ 的中点M，∵D是AB中点，∴MD是三角形ABC₁的中位线，∴MD∥BC₁．
而MD在平面A₁DC中，BC₁ 不在平面A₁DC中，∴BC₁∥面A₁DC．
（2）∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥BC，又 AC⊥BC，AC∩AA₁=A，∴BC⊥面A₁AC．
∵BC?面A₁BC，∴面A₁BC⊥面A₁AC．
分析：（1）取AC₁ 的中点M，则MD是三角形ABC₁的中位线，可得 MD∥BC₁，从而得到 BC₁∥面A₁DC．
（2）由AA₁⊥面ABC，可得 AA₁⊥BC，又 AC⊥BC，BC⊥面A₁AC，从而得到面A₁BC⊥面A₁AC．
点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，线面平行的判定，面面垂直的判定，取AC₁ 的中点M，是解题的关键．