Question

设函数f(x)=sinxcosx-

3

cos(x+π)cosx（x∈R）
（I）求函数f（x）图象的对称轴方程和对称中心坐标；
（II）若函数y=f（x）的图象按

b

=(

π

4

，

3

2

)平移后得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在(0，

π

2

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（I）化简f（x）的解析式为sin(2x+

π

3

)+

3

2

，由2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z 求得对称轴方程；令sin(2x+

π

3

)=0 可得 2x+

π

3

=kπ，k∈z，解得 x的值，即为对称中心的横坐标，再由对称中心的纵坐标为

3

2

求出对称中心坐标．
（II）求出g（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

．根据0＜x≤

π

2

，可得-

π

6

＜2x-

π

6

≤

5π

6

，故-

1

2

＜sin（2x-

π

6

）≤1，从而求得g（x）的值域．

解答：解：（I）函数f(x)=sinxcosx-

3

cos(x+π)cosx=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)+

3

2

．
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z 求得对称轴方程为x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z．
令sin(2x+

π

3

)=0 可得 2x+

π

3

=kπ，k∈z，解得 x=-

π

6

+

kπ

2

，
故对称中心坐标为(-

π

6

+

kπ

2

，

3

2

)，k∈Z．
（II）函数y=f（x）的图象按

b

=(

π

4

，

3

2

)平移后得到函数y=g（x）=sin[2(x-

π

4

)+

π

3

]+

3

2

+

3

2

 
=sin（2x-

π

6

）+

3

．
再由 0＜x≤

π

2

，可得-

π

6

＜2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

＜sin（2x-

π

6

）≤1，
-

1

2

+

3

＜sin（2x-

π

6

）+

3

≤1+

3

．
故y=g（x）在(0，

π

2

]上的取值范围是(-

1

2

+

3

，1+

3

]．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，三角函数的对称性，属于中档题．