题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ 的短轴的端点分别为A，B，直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M （m， $数学公式$ ）满足m≠0，且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）用m表示点E，F的坐标；
（Ⅲ）若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值．

解：（Ⅰ）依题意知a=2， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m， $\text{[math]}$ ），且m≠0，
∴直线AM的斜率为k₁= $\text{[math]}$ ，直线BM斜率为k₂= $\text{[math]}$ ，
∴直线AM的方程为y= $\text{[math]}$ ，直线BM的方程为y= $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 得（m²+1）x²-4mx=0，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 得（9+m²）x²-12mx=0，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∠AMF=∠BME，5S_△AMF=S_△BME，
∴5|MA||MF|=|MB||ME|，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵m≠0，∴整理方程得 $\text{[math]}$ ，即（m²-3）（m²-1）=0，
又∵ $\text{[math]}$ ，∴m²-3≠0，∴m²=1，∴m=±1为所求．
分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率计算公式 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）利用点斜式分别写出直线AM、BM的方程，与椭圆的方程联立即可得到点E、F的坐标；
（Ⅲ）利用三角形的面积公式及其关系得到 $\text{[math]}$ ，再利用坐标表示出即可得到m的值．
点评：熟练掌握椭圆的离心率、点斜式、直线与椭圆的相交问题的解题模式、三角形的面积计算公式、比例式如何用坐标表示是解题的关键．