Question

设抛物线y=x²的焦点为F，准线为l，过点F的直线斜率为k且与抛物线交于A、B两点，P在准线l上．

(Ⅰ)当k=1且直线产PA与PB相互垂直时，求点P的坐标；

(Ⅱ)设P(k，)，试问是否存在常数λ，使等式恒成立?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵x²=2y，∴焦点F(0，)；  准线方程为：y=-.

又∵k=1，∴过F的直线为：y=x+；

设A(x₁，x₁+)，B(x₂，x₂+)；

由可知:x²-2x-1=0．∴

设P(x，y)，∵P在准线上，故y=．

=(x- x₁，-1-x₁)，=(x-x₂，-1-x₂)．

∵⊥，∴·=0．

∴(x-x₁，-1-x₁)(x-x₂，-1-x₂)=0．

∴x²-( x₁+x₂)x+2 x₁x₂+( x₁+x₂)+1=0．

∴x²-2x+1=0.∴x=1. ∴P(1，)．

(Ⅱ)∵=(x₁，)，=(x₂，)，

∴·=.

又∵=(,-1)，=，

∴存在λ=-1使得·=λ成立．