Question

设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若g(x)=

1

f(x)+m

的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对不等式）|2x-1|+|2x-3|≤5，分x≥

3

2

，

1

2

＜x＜

3

2

和x＜

1

2

三种情况进行讨论，转化为一元一次不等式求解，
把求的结果求并集，就是原不等式的解集．
（2）g(x)=

1

f(x)+m

的定义域为R，转化为则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，求函数f（x）的最小值．

解答：解：（1）

x＜ 1 2 4-4x≤5

或

1 2 ≤x≤ 3 2 2≤5

或

x＞ 3 2 4x-4≤5

不等式的解集为x∈[-

1

4

，

9

4

]
（2）若g(x)=

1

f(x)+m

的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，f（x）的最小值为2，
所以m＞-2．

点评：问题（1）考查绝对值的代数意义，去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法，属中档题；问题（2）考查应用绝对值的几何意义求最值，体现了转化的思想，属中等题．