Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为-4，f′（x）＞0的解集是{x|1＜x＜3}．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[2，3]时，求g（x）=f′（x）+6（m-2）x的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，a＞0，
又∵f′（x）＞0的解集是{x|1＜x＜3}．
∴1，3分别为f（x）的极小值，极大值点，且a＞0，
∴f′（1）=0，f′（3）=0，f（1）=-4
∴

a+b+c=-4 3a+2b+c=0 27a+6b+c=0

，
解得a=-1，b=6，c=-9，
∴f（x）=-x³+6x²-9x，
（II）g（x）=f′（x）+6（m-2）x
=-3x²+12x-9+6（m-2）x
=-3x²+6mx-9
其图象是开口朝下，且以直线x=m为对称轴的抛物线
当m＞3时，g（x）在区间[2，3]上为增函数，
此时当x=3时，g（x）取最大值18m-36
当2≤m≤3时，g（x）在区间[2，m]上为增函数，在区间[m，3]上为减函数，
此时当x=m时，g（x）取最大值3m²-9
当m＜2时，g（x）在区间[2，3]上为减函数，
此时当x=2时，g（x）取最大值12m-21