Question

11．与圆x²+y²-8x-4y+16=0相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线有4条．

Answer 1

分析 斜率存在时，根据切线方程在两条坐标轴上截距相等设切线方程为x+y=m，根据圆心到切线的距离d等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值；直线过原点时，设方程为kx-y=0，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值．

解答 解：将圆方程化为标准方程得：（x-4）²+（y-2）²=4，
∴圆心C坐标为（4，2），半径r=2，
根据题意设所求切线方程为x+y=m，
∵圆心到切线的距离d=r，
∴$\frac{|6-m|}{\sqrt{2}}$=2，即m=6±2$\sqrt{2}$，
直线过原点时，设方程为kx-y=0，则$\frac{|4k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=0或$\frac{4}{3}$．
故答案为：4．

点评 此题考查了圆的切线方程，以及直线的截距式方程，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．