Question

幂函数y=x-

1

2

p2+p+

3

2

（p∈Z）为偶函数，且f（1）＜f（4），则实数p=

1

．

Answer 1

分析：由条件判断出幂函数在（0，+∞）上为增函数，再令指数大于零列出不等式，结合p的范围求值，再验证函数是否是偶函数，再对p的值进行取舍．

解答：解：由f（1）＜f（4）可知幂函数在（0，+∞）上为增函数．
∴-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，∴p²-2p-3＜0．
∴（p-3）（p+1）＜0，∴-1＜p＜3．
又∵p∈Z，当p=0时，或p=2时，y=x

3

2

不是偶函数，p=1，y=x²适合题意．
故答案为：1．

点评：本题考查了幂函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．