Question

如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝.

（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）在线段PC上是否存在一点Q（除去端点），使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为？

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）上存在满足条件.

试题分析：（1）条件中出现了中点，需要证明的结论为线面平行，因此可以考虑构造三角形中位线证明线线平行，因此在矩形中，连结交于，则点为的中点．则为的中位线，从而，又平面平面可知平面；（2）题中出现了线面垂直，因此可以考虑建立空间直角坐标系利用空间向量求解，可以为原点，所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，根据条件中数据，可先写出点的坐标：
，
从而可以得到向量的坐标：，因此可求得平面的法向量为，设直线与平面所成角为，利用即可求得；
（3）假设存在满足已知条件的，由，得，可分别求得平面的法向量为，再由平面的法向量，则由两平面所成锐二面角大小为可以得到关于的方程：，可解得或（舍去），方程有解，即说明上存在满足条件.
试题解析：（1）如图，在矩形中，连结交于，则点为的中点．在中，点为的中点，点为的中点，∴，又∵平面平面，∴平面；
（2）由，则，由平面平面且平面平面，得平面,∴，又矩形中以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
∴，
设平面的法向量为，
∵，∴可取，设直线与平面所成角为，
则；
（3）如图，假设存在点满足条件，则可设，得，设平面的法向量为，则由得，
由平面与平面所成的锐二面角为得：，
∴或（舍去），∴所求点为的靠近的一个三等分点，即在上存在满足条件．