题目内容

已知函数 $数学公式$ ，直线 $数学公式$ 象的一条对称轴．
（1）试求ω的值：
（2）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移 $数学公式$ 个单位长度得到，求函数g（x）在[0， $数学公式$ ]上的最大值．

解： $\text{[math]}$ =cos2ωx+ $\text{[math]}$ sin2ωx=2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ），
（1）∵直线 $\text{[math]}$ 是f（x）图象的一条对称轴
∴ $\text{[math]}$ 是方程2ωx+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）的一个解，
即2ω• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，得ω= $\text{[math]}$ （3k+1）
∵0＜ω＜1，取k=0，得ω= $\text{[math]}$ ；
（2）y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=f（ $\text{[math]}$ ）的图象
再将所得图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到y=f（ $\text{[math]}$ ）的图象，
∴g（x）=f（ $\text{[math]}$ ）=2sin[2• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ]=2sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=2cos $\text{[math]}$ ，
∵0≤x≤ $\text{[math]}$ ，∴0≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ≤cos $\text{[math]}$ ≤1
由此可得g（x）∈[ $\text{[math]}$ ，2]，在[0， $\text{[math]}$ ]上的最大值为2．
分析：（1）将函数f（x）利用二倍角余弦公式和辅助角公式化简，得f（x）=2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ），根据正弦函数对称轴方程的结论得 $\text{[math]}$ 是方程2ωx+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）的一个解，建立关于ω的方程，结合0＜ω＜1可得ω的值；
（2）根据三角函数图象变换的公式，得到g（x）=f（ $\text{[math]}$ ），化简得g（x）=2cos $\text{[math]}$ ，结合余弦函数的图象，不难得到g（x）在[0， $\text{[math]}$ ]上的最大值．
点评：本题给出含有字母参数的三角函数表达式，在已知一条对称轴的情况下求参数的值，并求函数图象变换后所得函数的最大值，着重考查了正弦函数的对称性、三角函数中的恒等变换应用和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于中档题．