Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项之和为S_n，已知向量

a

=(1，an)，

b

=(an+1，

1

2

)，且n∈N*时，

a

⊥

b

成立，则

lim

n→∞

Sn（　　）

• A、

  1

  2

• B、-1
• C、

  2

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：由题意

a

⊥

b

成立，可得an+1+ 

1

2

an=0，由此知此数列为一公比为-

1

2

的等比数列，数列{a_n}的首项a₁=1，求出其前n项之和为S_n，求其极好即可

解答：解：由题意∴

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，∴an+1+ 

1

2

an=0，即an+1=-

1

2

an
又数列{a_n}的首项a₁=1，故列{a_n}是首项为1，公比为-

1

2

的等比数列，
∴S_n=

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

=

2

3

(1-(-

1

2

)n)=

2

3

-

2

3

×(1-(-

1

2

)n)
∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

[

2

3

-

2

3

×(1-(-

1

2

)n )]=

2

3

故选C

点评：本题考查数列的极限，解题的关键是根据向量的内积公式，得出数列的性质首项为1，公比为-

1

2

的等比数列，求出其前n项之和为S_n，极限的运算法则也很关键．