Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=4 ，AD=2 ，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ．

（1）当θ=90°时，求A′C的长；
（2）当cosθ= 时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在图1中，过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE．

∵AB=4 ，AD=2 ，∴BD= =10．

∴ ，BE= =8，cos∠CBE= = ．

在△BCE中，由余弦定理得CE= =2 ．

∵θ=90°，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．

∴|A′C|= =2 ．

（2）DE= =2．

∵tan∠FDE= ，∴EF=1，DF= = ．

当 即cos∠A′EF= 时， ．

∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A'FE=90°

又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F

∴A'F⊥平面ABCD．

以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA′为z轴建立空间直角坐标系如图所示：

∴A′（0，0， ），D（﹣ ，0，0），B（3 ，2 ，0），C（3 ，0，0）．

∴ =（0，2 ，0）， =（4 ，2 ，0）， =（ ，0， ）．

设平面A′BD的法向量为 =（x，y，z），则 ，

∴ ，令z=1得 =（﹣ ，2 ，1）．

∴cos＜ ＞= = = ．

∴BC与平面A'BD所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）根据题意作出辅助线利用勾股定理可得AE、CE再由A′E⊥CE得出结果。（2）利用余弦定理可得A ' F的值，从而得出A'F⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系如图所示，求出向量CB和平面A′BD的法向量，根据两个向量的数量积公式求出BC与平面A'BD所成角的正弦值即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．