Question

规定A=x(x-1)…(x-m+1)，其中x∈R，m为正整数，且A=1，这是排列数A(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．

  （1）求A的值；

  （2）排列数的两个性质：①A=nA，②A+mA=A(其中m，n是正整数)．是否都能推广到A(x∈R，m是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；

  （3）确定函数A的单调区间．

Answer 1

见解析

解析:

解:(1)=(-15)(-16)(-17)=   - 4080；

(2)性质①、②均可推广，推广的形式分别是

①，②(x∈R，m∈N⁺)

事实上，在①中，当m=1时，左边==x，右边=x=x，等式成立；  

当m≥2时，左边=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)=x{(x-1)(x-2)…[(x-1)-(m-1)+1]}=x，

因此，①成立；

在②中，当m=l时，左边=+=x+l==右边，等式成立；

当m≥2时，左边=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)…(x-m+2)

=x(x-1)(x-2)…(x-m+2)[(x-m+1)+m]

=(x+1)x(x-1)(x-2)…[(x+1)-m+1]==右边，

因此②(x∈R，m∈N⁺)成立．

(3)先求导数，得()^/=3x²-6x+2．令3x²-6x+2>0，解得x<或x>

因此，当x∈(-∞，)时，函数为增函数，当x∈(，+∞)时，函数也为增函数．

令3x²-6x+2≤0, 解得≤x≤，因此,当x∈[,]时,函数为减函数．

∴函数的增区间为(-∞，),(，+∞)；减区间为[,]．