题目内容

已知
OA
=（1，2，3），
OB
=（2，1，2），
OP
=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当
QA
•
QB
取得最小值时，点Q的坐标为（　　）
A、(
1
2
，
3
4
，
1
3
)
B、(
1
2
，
3
2
，
3
4
)
C、(
4
3
，
4
3
，
8
3
)
D、(
4
3
，
4
3
，
7
3
)
分析：可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（λ，λ，2λ），则由向量的数量积的坐标表示可得
QA
•
QB
=2（3λ2-8λ+5），根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q
解答：解：设Q（x，y，z）
由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得
OQ
=λ
OP
，则有Q（λ，λ，2λ）
QA
=(1-λ，2-λ，3-2λ)，
QB
=(2-λ，1-λ，2-2λ)
当
QA
•
QB
=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ2-8λ+5）
根据二次函数的性质可得当λ=
4
3
时，取得最小值-
2
3
此时Q (
4
3
，
4
3
，
8
3
)
故选：C
点评：本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得
OQ
=λ
OP
，进而有Q（λ，λ，2λ），然后转化为关于λ的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知A（-1，2），B（2，8），
AC
=
1
3
AB
，
DA
=-
2
3
AB
，求
CD
的坐标．
（2）如图，过△OAB的重心G的直线与边OA、OB分别交于P、Q，设O
P
=h
OA
，O
Q
=k
OB
，求证：
1
h
+
1
k
是常数．
已知
OA
=（1，2），
OB
=（m，4），若
OA
⊥
AB
，则m=
-3
-3
．
已知
OA
=（1，2，3），
OB
=（2，1，2），
OC
=（1，1，2），点M在直线OC上运动，当
MA
•
MB
取最小值时，点M的坐标为
 
．
已知
OA
=（1，2，3），
OB
=（2，1，2），
OP
=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当
QA
•
QB
取得最小值时，点Q的坐标为（　　）
A．(
1
2
，
3
4
，
1
3
)		B．(
1
2
，
3
2
，
3
4
)		C．(
4
3
，
4
3
，
8
3
)		D．(
4
3
，
4
3
，
7
3
)

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