Question

（1）求f(x)=

lnx+2x

x2

的导数；
（2）求过曲线y=cosx上点P(

π

3

，

1

2

)且与过这点的切线垂直的直线方程．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则和基本函数的导数直接求解即可．
（2）要求直线方程，只需求出该直线的斜率．因为此直线和过曲线y=cosx上点P(

π

3

，

1

2

)的切线垂直，
只需求出过曲线y=cosx上点P(

π

3

，

1

2

)的切线的斜率，即为该点处的导数值．

解答：解：（1）f′(x)=(

lnx

x2

+

2x

x2

)′
=

1 x x2-lnx•2x

x4

+

2x•ln2•x2-2x•2x

x4

=

(1-2lnx)x+(ln2•x2-2x)•2x

x4

=

1-2lnx+(ln2•x-2)•2x

x3

；
（2）∵y'=-sinx，曲线在点P(

π

3

，

1

2

)处的切线的斜率是-sin

π

3

=-

3

2

．
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为

2

3

．
∴所求的直线方程为y-

1

2

=

2

3

(x-

π

3

)，
即2x-

3

y-

2π

3

+

3

2

=0．

点评：本题考查导数的运算、运算法则、导数的集合意义，属基础知识、基本运算的考查．