Question

.经过点P(0,2)作直线l交椭圆C:+y²=1于A、B两点,若△AOB的面积为,求直线l的方程.

Answer 1

解:如图所示,设l的方程为y=kx+2,显然k存在,代入椭圆方程并整理,得

(2k²+1)x²+8kx+6=0.①

由韦达定理有x₁+x₂=,x₁x₂=.②

过O作OH⊥AB,则|OH|=,∴|AB|=|x₁-x₂|=.

∴S_△AOB=|AB|·|OH|=.∵S_△AOB=,∴=,

即9［(x₁+x₂)²-4x₁x₂］=4.将②式代入得9［()²］=4,

即4k⁴-32k²+55=0,∴k²=或k²=.又①式的判别式Δ＞0,得2k²-3＞0,

∴k=±,k=±均满足,即有4条直线,其方程是y=±x+2,y=±x+2.