Question

15．在直角坐标系xOy中，直线l过点P（0，$\frac{1}{2}$），且倾斜角为150°，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ²+2ρcosθ=0（θ为参数，ρ＞0）．
（1）写出直线l的参数方程和圆C的直角坐标方程；
（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）；圆C的极坐标方程为ρ²+2ρcosθ=0（θ为参数，ρ＞0），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入圆的方程可得：$4{t}^{2}+（2-4\sqrt{3}）$t+1=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）直线l过点P（0，$\frac{1}{2}$），且倾斜角为150°，∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）；
圆C的极坐标方程为ρ²+2ρcosθ=0（θ为参数，ρ＞0），化为x²+y²+2x=0．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入圆的方程可得：$4{t}^{2}+（2-4\sqrt{3}）$t+1=0，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．