Question

平面内与两定点连线的斜率之积等于常数（的点的轨迹，连同两点所成的曲线为C．

（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状；

（II）设,，对应的曲线是，已知动直线与椭圆交于、两不同点，且,其中O为坐标原点，探究 是否为定值，写出解答过程。

Answer 1

 解：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为，

    当时，由条件可得

即，又的坐标满足

故依题意，曲线C的方程为

当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；

当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；

当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；  ……6分

（Ⅱ）解：：

当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，

所以因为在椭圆上，因此       ①

又因为所以        ②

由①、②得此时

   当直线的斜率存在时，设直线的方程为

将其代入，得，

其中即         （*）

又，

所以

因为点O到直线的距离为所以

又整理得且符合（*）式，

此时

综上所述结论成立                                      ……13分

（Ⅱ）解法2：

令P，Q

化简得

又P，Q在

则

代入得，